Exercício 22. Verifique se a função é contínua em
:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para verificar se a função é contínua em
.
Informações relevantes que temos:
- A fórmula da função é
. - O ponto onde queremos testar continuidade é
. - A pergunta é única: verificar se
é contínua em .
Passo 2
Definição usada (explicada de forma simples): dizer que
é contínua em
significa que o valor da função em
é igual ao limite de
quando
se aproxima de
. Em símbolos:
Versão precisa (é útil para prova):
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que sempre que
se tem
.
O que significam
e
(resumido, sem formalismo pesado):
-
é a precisão desejada no valor de (quão perto de queremos ficar). -
é a tolerância no (quão perto de precisamos escolher para garantir a precisão ).
Passo 3
Calcular o valor da função no ponto:
Passo 4
Esboço do raciocínio para o limite: queremos mostrar que
. Uma manipulação útil é escrever a diferença
A estratégia será controlar o fator
impondo que
esteja perto de
, e assim tornar
tão pequeno quanto quisermos, escolhendo
suficientemente pequeno.
Passo 5
Prova
-
(detalhada, passo a passo):
Seja arbitrário
. Vamos encontrar um
que dependa de
e satisfaça a definição.
Escolha
Agora suponha que
. Então, primeiro,
Usando a fatoração do Passo 4 obtemos
Pela escolha de
temos
, logo
Portanto, para todo
existe
(por exemplo a escolha acima) tal que
implica
. Isso mostra que
Passo 6
Como
e
, concluímos que
. Portanto
é contínua em
.
Observação amigável: uma forma rápida (menos formal) é lembrar que polinômios são contínuos em todo ponto, então
é contínua em qualquer
, incluindo
. A prova
-
acima mostra isso concretamente para
.
Resposta
Sim. A função
é contínua em
.