Exercício 22. Verifique se a função é contínua em x=2 :
f(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x^{2}
e pede para verificar se a função é contínua em x=2.
Informações relevantes que temos:
  • A fórmula da função é f(x)=x^{2}.
  • O ponto onde queremos testar continuidade é x=2.
  • A pergunta é única: verificar se f é contínua em x=2.

Passo 2

Definição usada (explicada de forma simples): dizer que f é contínua em a significa que o valor da função em a é igual ao limite de f(x) quando x se aproxima de a. Em símbolos:
f\text{ é contínua em }a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Versão precisa (é útil para prova): f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta se tem |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
O que significam \varepsilon e \delta (resumido, sem formalismo pesado):
  • \varepsilon>0 é a precisão desejada no valor de f(x) (quão perto de f(a) queremos ficar).
  • \delta>0 é a tolerância no x (quão perto de a precisamos escolher x para garantir a precisão \varepsilon).

Passo 3

Calcular o valor da função no ponto:
f(2)=2^{2}=4.

Passo 4

Esboço do raciocínio para o limite: queremos mostrar que \lim_{x\to2} x^{2}=4. Uma manipulação útil é escrever a diferença
|x^{2}-4|=|x-2||x+2|.
A estratégia será controlar o fator |x+2| impondo que x esteja perto de 2, e assim tornar |x^{2}-4| tão pequeno quanto quisermos, escolhendo |x-2| suficientemente pequeno.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta (detalhada, passo a passo):
Seja arbitrário \varepsilon>0. Vamos encontrar um \delta>0 que dependa de \varepsilon e satisfaça a definição.
Escolha
\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}.
Agora suponha que 0<|x-2|<\delta. Então, primeiro,
|x+2|=|(x-2)+4|\le |x-2|+4<\delta+4\le 1+4=5.
Usando a fatoração do Passo 4 obtemos
|x^{2}-4|=|x-2||x+2|<|x-2|\cdot 5<5\delta.
Pela escolha de \delta temos \delta\le \varepsilon/5, logo
|x^{2}-4|<5\delta\le 5\cdot\frac{\varepsilon}{5}=\varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo a escolha acima) tal que 0<|x-2|<\delta implica |x^{2}-4|<\varepsilon. Isso mostra que
\lim_{x\to 2} x^{2}=4.

Passo 6

Como \lim_{x\to2} x^{2}=4 e f(2)=4, concluímos que \lim_{x\to2} f(x)=f(2). Portanto f é contínua em x=2.
Observação amigável: uma forma rápida (menos formal) é lembrar que polinômios são contínuos em todo ponto, então x^{2} é contínua em qualquer x, incluindo 2. A prova \varepsilon- \delta acima mostra isso concretamente para x=2.

Resposta

Sim. A função f(x)=x^{2} é contínua em x=2.

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