Determine
e
se
é definido de forma implicita como uma funçāo de x e y pela equaçāo
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
é uma função de
e
(isto é,
). O que o problema pede é determinar as derivadas parciais
Informações relevantes que já temos:
-
e são as variáveis independentes. -
depende de e . - A equação relaciona
, e de forma implícita; portanto usaremos diferenciação implícita (derivação parcial) para encontrar e .
Passo 2
Vamos achar
. A ideia: derivar membro a membro a equação dada com respeito a
, mantendo
constante, e aplicar regra da cadeia sempre que aparecer
.
Relembrando duas regras usadas aqui:
- Regra da cadeia (para derivada parcial): se
, então
- Regra do produto: ao derivar
em relação a (com constante) pode-se ver como produto de por , logo
Agora derivamos a equação em relação a
. Derivando termo a termo obtemos
Calculando cada derivada:
Agrupando os termos que contêm
:
Isolando
obtemos
Fatorando 3 no numerador e denominador e simplificando:
Passo 3
Agora vamos achar
. Procedimento análogo: derivar a equação dada com respeito a
, mantendo
constante.
Usamos novamente a regra da cadeia:
e a regra do produto para
(agora derivando em relação a
):
Derivando termo a termo:
Calculando cada derivada:
Agrupando os termos com
:
Isolando
obtemos
Fatorando 3 e simplificando:
Passo 4
Algumas observações didáticas e práticas (para a prova):
- Em todas as etapas, ao derivar um termo que envolve
(como ou ), sempre lembrar que depende de e ; por isso aparece ou via regra da cadeia. - Quando aplicar a regra do produto em
convém tratar primeiro como produto de dois fatores, por exemplo , e depois derivar: . Como é constante ao derivar em , . - Sempre isole a derivada parcial procurada reunindo seus coeficientes e resolvendo uma equação linear simples.
- Atenção: as fórmulas acima são válidas enquanto o denominador não for zero. Portanto é necessário que
Se esse denominador for zero num ponto específico, o método falha ali (é o mesmo requisito do teorema da função implícita).
Força aí — você já tem a receita passo a passo e as fórmulas para aplicar direto na prova.