Determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} se z é definido de forma implicita como uma funçāo de x e y pela equaçāo
x^{3}+y^{3}+z^{3}+6 x y z=1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz=1,
onde z é uma função de x e y (isto é, z=z(x,y)). O que o problema pede é determinar as derivadas parciais
\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes que já temos:
  • x e y são as variáveis independentes.
  • z depende de x e y.
  • A equação relaciona x, y e z de forma implícita; portanto usaremos diferenciação implícita (derivação parcial) para encontrar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Vamos achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}. A ideia: derivar membro a membro a equação dada com respeito a x, mantendo y constante, e aplicar regra da cadeia sempre que aparecer z.
Relembrando duas regras usadas aqui:
  • Regra da cadeia (para derivada parcial): se z=z(x,y), então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{3}\bigr)=3z^{2}\frac{\partial z}{\partial x}.
  • Regra do produto: ao derivar x y z em relação a x (com y constante) pode-se ver como produto de x por y z, logo
\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z + x y \frac{\partial z}{\partial x}.
Agora derivamos a equação em relação a x. Derivando termo a termo obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{3}\bigr)+6\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=\frac{\partial}{\partial x}(1).
Calculando cada derivada:
3x^{2}+0+3z^{2}\frac{\partial z}{\partial x}+6\bigl(y z + x y \frac{\partial z}{\partial x}\bigr)=0.
Agrupando os termos que contêm \frac{\partial z}{\partial x}:
\bigl(3z^{2}+6xy\bigr)\frac{\partial z}{\partial x}+6yz+3x^{2}=0.
Isolando \frac{\partial z}{\partial x} obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{3x^{2}+6yz}{3z^{2}+6xy}.
Fatorando 3 no numerador e denominador e simplificando:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x^{2}+2yz}{z^{2}+2xy}.

Passo 3

Agora vamos achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Procedimento análogo: derivar a equação dada com respeito a y, mantendo x constante.
Usamos novamente a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{3}\bigr)=3z^{2}\frac{\partial z}{\partial y},
e a regra do produto para x y z (agora derivando em relação a y):
\frac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z + x y \frac{\partial z}{\partial y}.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{3}\bigr)+6\frac{\partial}{\partial y}(x y z)=\frac{\partial}{\partial y}(1).
Calculando cada derivada:
0+3y^{2}+3z^{2}\frac{\partial z}{\partial y}+6\bigl(x z + x y \frac{\partial z}{\partial y}\bigr)=0.
Agrupando os termos com \frac{\partial z}{\partial y}:
\bigl(3z^{2}+6xy\bigr)\frac{\partial z}{\partial y}+6xz+3y^{2}=0.
Isolando \frac{\partial z}{\partial y} obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{3y^{2}+6xz}{3z^{2}+6xy}.
Fatorando 3 e simplificando:
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y^{2}+2xz}{z^{2}+2xy}.

Passo 4

Algumas observações didáticas e práticas (para a prova):
  • Em todas as etapas, ao derivar um termo que envolve z (como z^{3} ou xyz), sempre lembrar que z depende de x e y; por isso aparece \frac{\partial z}{\partial x} ou \frac{\partial z}{\partial y} via regra da cadeia.
  • Quando aplicar a regra do produto em x y z convém tratar primeiro como produto de dois fatores, por exemplo (x y)\cdot z, e depois derivar: \partial_x((xy)z)=(xy)\partial_x z + z\partial_x(xy). Como y é constante ao derivar em x, \partial_x(xy)=y.
  • Sempre isole a derivada parcial procurada reunindo seus coeficientes e resolvendo uma equação linear simples.
  • Atenção: as fórmulas acima são válidas enquanto o denominador não for zero. Portanto é necessário que
3z^{2}+6xy\neq 0\quad\text{ou equivalentemente}\quad z^{2}+2xy\neq 0.
Se esse denominador for zero num ponto específico, o método falha ali (é o mesmo requisito do teorema da função implícita).
Força aí — você já tem a receita passo a passo e as fórmulas para aplicar direto na prova.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x^{2}+2yz}{z^{2}+2xy}
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y^{2}+2xz}{z^{2}+2xy}

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