Determine os pontos singulares de cada EDO e classifique-os como regular ou irregular:
(j) x\left(1-x^{2}\right)^{3} y^{\prime \prime}+\left(1-x^{2}\right)^{2} y^{\prime}+2(1+x) y=0

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
x\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3}y''+\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}y'+2(1+x)y=0,
que é uma equação linear de segunda ordem. Para achar os pontos singulares, vamos escrevê-la na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
dividindo tudo pelo coeficiente de y''. Os pontos singulares são os zeros do coeficiente de y''. Em seguida, classificamos cada ponto x_{0} como regular se (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) forem analíticos em x_{0}, caso contrário é irregular.

Passo 2

O coeficiente de y'' é
a_{2}(x)=x\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3}.
Os zeros de a_{2}(x) são
x=0,\quad x=1,\quad x=-1,
portanto estes são os pontos singulares.

Passo 3

Dividindo a EDO por a_{2}(x) obtemos
P(x)=\frac{(1-x^{2})^{2}}{x(1-x^{2})^{3}}=\frac{1}{x(1-x^{2})}, \qquad Q(x)=\frac{2(1+x)}{x(1-x^{2})^{3}}.

Passo 4

Em x=0:
P(x)=\frac{1}{x(1-x^{2})}\sim\frac1{x},\quad Q(x)=\frac{2(1+x)}{x(1-x^{2})^{3}}\sim\frac{2}{x}.
Calculamos
x\,P(x)=\frac{x}{x(1-x^{2})}=\frac1{1-x^{2}}\quad\text{analítico em }0,í
x^{2}Q(x)=\frac{x^{2}\,2(1+x)}{x(1-x^{2})^{3}} =\frac{2x(1+x)}{(1-x^{2})^{3}}\quad\text{analítico em }0.í
Logo x=0 é ponto singular regular.

Passo 5

Em x=1: perto de 1 temos
P(x)=\frac{1}{x(1-x^{2})}\sim-\frac1{2(x-1)}, \quad Q(x)=\frac{2(1+x)}{x(1-x^{2})^{3}}\sim\frac1{2(x-1)^{3}}.
Então
(x-1)P(x)\sim -\tfrac12\quad\text{analítico},í
(x-1)^{2}Q(x)\sim \frac1{2(x-1)}\quad\text{não analítico}.ãí
Portanto x=1 é ponto singular irregular.

Passo 6

Em x=-1: perto de -1 temos
P(x)\sim -\frac1{2(x+1)}, \quad Q(x)\sim -\frac1{4(x+1)^{2}}.
Logo
(x+1)P(x)\sim -\tfrac12\quad\text{analítico},í
(x+1)^{2}Q(x)\sim -\tfrac14\quad\text{analítico}.í
Logo x=-1 é ponto singular regular.

Resposta

x=0 e x=-1 são pontos singulares regulares.
x=1 é ponto singular irregular.

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