Calcule a solução geral ou (particular quando indicado) das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para expressar
. Dividimos tudo por
:
Isolando
:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão. Lembre que
e
. Então:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. Começando pelo lado esquerdo:
Sabemos que
, então:
A integral de
é
(lembra disso da tabela de integrais?).
Então:
Passo 6
Agora, vamos integrar o lado direito:
Fazemos uma substituição: seja
, então
.
A integral fica:
Passo 7
Juntando os resultados das integrais:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
O
aqui é a constante de integração.
Passo 8
Vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral é:
Onde
é uma constante arbitrária.