Calcule a solução geral ou (particular quando indicado) das seguintes equações diferenciais:
3 e^x tg(y) d x+(1-e^x) sec ^2(y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
3 e^x tan(y) , dx + (1 - e^x) sec^2(y) , dy = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis x e y e integrar ambos os lados. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para expressar dydx . Dividimos tudo por dx :
3 e^x tan(y) + (1 - e^x) sec^2(y) dydx = 0
Isolando dydx :
dydx = -3 e^x tan(y)1 - e^x cdot 1sec^2(y)

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Lembre que tan(y) = sin(y)cos(y) e sec^2(y) = 1cos^2(y) . Então:
sin(y)cos(y) cdot cos^2(y) = sin(y) cos(y)
Substituindo na equação:
dydx = 3 e^xe^x - 1 sin(y) cos(y)

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis y e x :
1sin(y) cos(y) , dy = 3 e^xe^x - 1 , dx

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Começando pelo lado esquerdo:
integral 1sin(y) cos(y) , dy
Sabemos que 1sin(y) cos(y) = 2sin(2y) , então:
integral 2sin(2y) , dy = integral 2 csc(2y) , dy
A integral de csc(2y) é 12 ln|tan(y)| (lembra disso da tabela de integrais?).
Então:
ln|tan(y)| = integral 3 e^xe^x - 1 , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar o lado direito:
integral 3 e^xe^x - 1 , dx
Fazemos uma substituição: seja u = e^x - 1 , então du = e^x , dx .
A integral fica:
3 integral duu = 3 ln|u| + C = 3 ln|e^x - 1| + C

Passo 7

Juntando os resultados das integrais:
ln|tan(y)| = 3 ln|e^x - 1| + C
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
ln|tan(y)| = ln|e^x - 1|^3 + C
O C aqui é a constante de integração.

Passo 8

Vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
tan(y) = C (e^x - 1)^3
Onde C = e^C é uma nova constante.

Resposta

A solução geral é:
tan(y) = C (e^x - 1)^3
Onde C é uma constante arbitrária.

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