Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de forma semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira abordagem das integrais impróprias a seguir é feita como se elas fossem próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria tomando limites apropriados, como na Seção 8.7. Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais próprias.
integral1^infty integrale^e^2 1x^3y dy dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla imprópria
integral1^inftyintegrale^e^21x^3y,dy,dx
Aqui o conteúdo é integração iterada e tratamento de integral imprópria do tipo com limite superior infinito. Vamos primeiro tratar a integral interna em y como se fosse própria (pois os limites são finitos) e depois avaliar a integral em x como imprópria, introduzindo um limite quando xtoinfty.

Passo 2

Calculamos a integral interna em y:
integrale^e^21x^3y,dy
Como x é tratado como constante nessa etapa, fatoramos 1/x^3:
1x^3integrale^e^21y,dy
E sabemos que
integral1y,dy = ln y,
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integrale^e^21y,dy = l[ln yr]e^e^2 = ln(e^2) - ln(e) = 2 - 1 = 1
Portanto a integral interna vale
1x^3cdot 1 = 1x^3

Passo 3

Substituímos o resultado na integral externa e obtemos
integral1^infty1x^3,dx
Essa é uma integral imprópria, pois o limite superior é infinito. Reescrevemos como limite:
limbtoinftyintegral1^b1x^3,dx
Sabemos que
integral x^-3,dx = integral x^-3,dx = -tfrac12x^-2 + C
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integral1^b1x^3,dx = l[-tfrac12x^-2r]1^b = l(-tfrac12b^-2r) - l(-tfrac12cdot1^-2r) = -12b^2 + 12
Agora tomamos o limite btoinfty:
limbtoinftyl(-tfrac12b^2 + tfrac12r) = 0 + 12 = 12

Resposta

12

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