Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de forma semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira abordagem das integrais impróprias a seguir é feita como se elas fossem próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria tomando limites apropriados, como na Seção 8.7. Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais próprias.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla imprópria
Aqui o conteúdo é integração iterada e tratamento de integral imprópria do tipo com limite superior infinito. Vamos primeiro tratar a integral interna em
como se fosse própria (pois os limites são finitos) e depois avaliar a integral em
como imprópria, introduzindo um limite quando
.
Passo 2
Calculamos a integral interna em
:
Como
é tratado como constante nessa etapa, fatoramos
:
E sabemos que
logo
Portanto a integral interna vale
Passo 3
Substituímos o resultado na integral externa e obtemos
Essa é uma integral imprópria, pois o limite superior é infinito. Reescrevemos como limite:
Sabemos que
Logo
Agora tomamos o limite
: