Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de forma semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira abordagem das integrais impróprias a seguir é feita como se elas fossem próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria tomando limites apropriados, como na Seção 8.7. Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais próprias.
integral0^infty integral0^infty xe^-(x+2y) dx dy

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral imprópria dupla
integral0^inftyintegral0^inftyx,e^-(x+2y),dx,dy
O conteúdo aqui é de integrais duplas impróprias. A ideia é usar Fubini para tratar como integral iterada, resolvendo primeiro em x (para cada y fixo) e depois em y.

Passo 2

Para cada y>=0, a integral interna em x é
integral0^inftyx,e^-(x+2y),dx = e^-2yintegral0^inftyx,e^-x,dx,
pois e^-(x+2y)=e^-2ye^-x e podemos fatorar e^-2y fora da integral.

Passo 3

Agora usamos que
integral0^inftyx,e^-x,dx
é a integral da distribuição gama com parâmetro 2, ou seja
integral0^inftyx,e^-x,dx = 1! = 1
Logo a integral interna fica simplesmente e^-2y.

Passo 4

Finalmente, integramos em y:
integral0^inftye^-2y,dy = l[-tfrac12e^-2yr]0^infty = 12

Resposta

tfrac12

Exercícios relacionados