Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de forma semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira abordagem das integrais impróprias a seguir é feita como se elas fossem próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria tomando limites apropriados, como na Seção 8.7. Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais próprias.
integral-1^1 integral-1/raiz1-x^2^1/raiz1-x^2 (2y+1) dy dx

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla imprópria
integral-1^1integral-1raiz1-x^2^1raiz1-x^2(2y+1),dy,dx
O conteúdo envolve avaliar integrais iteradas e tratar limites impróprios na variável y.

Passo 2

Para cada xin(-1,1), calculamos a integral interna em y:
integral-1raiz1-x^2^1raiz1-x^2(2y+1),dy
Como
integral(2y+1),dy=y^2+y,
avaliamos em y=pm a, onde
a=1raiz1-x^2, a^2=11-x^2

Passo 3

Avaliando y^2+y de -a a a obtemos
l(a^2+ar)-l(a^2-ar) =2a =2raiz1-x^2
Logo a integral interna é
integral-a^a(2y+1),dy=2raiz1-x^2

Passo 4

A integral dupla reduz-se a
integral-1^12raiz1-x^2,dx =2integral-1^11raiz1-x^2,dx =2l[arcsin(x)r]-1^1 =2l(pi2-l(-pi2r)r) =2pi

Resposta

2pi

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