Obtenha a solução geral para a equação diferencial linear dada.
d rd theta r sec theta=cos theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
drdtheta + sectheta;r = costheta
Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
drdtheta + P(theta),r = Q(theta),
identificando
P(theta)=sectheta, Q(theta)=costheta

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(theta) = e^integral P(theta),dtheta = e^integral sectheta,dtheta = e^lnl|sectheta+tanthetar| = sectheta+tantheta

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(theta):
(sectheta+tantheta)drdtheta +(sectheta+tantheta)sectheta;r =(sectheta+tantheta)costheta
O lado esquerdo fica exatamente
ddthetal[(sectheta+tantheta),rr]

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a theta:
(sectheta+tantheta),r = integral(sectheta+tantheta)costheta,dtheta + C
Vamos calcular
integralsecthetacostheta,dtheta =integral1,dtheta=theta, integraltanthetacostheta,dtheta =integralsintheta,dtheta=-costheta
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(sectheta+tantheta),r = theta - costheta + C

Passo 6

Isolando r, obtemos a solução geral
r(theta) = theta - costheta + Csectheta + tantheta

Resposta

r(theta) = theta - costheta + Csectheta + tantheta

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