Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
y^prime(x)+y=x^2+2x-1

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia:
Temos a EDO de primeira ordem
y'(x) + y(x) = x^2+2x-1
que é linear no formato
y'(x)+p(x),y(x)=q(x),
aqui p(x)=1 e q(x)=x^2+2x-1. Vamos resolver usando o fator integrante.

Passo 2

Cálculo do fator integrante :
Multiplicando a EDO original por obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto , ou seja,

Passo 3

Integramos ambos os lados:
Para facilitar, fazemos a divisão de polinômios:
Logo,
Sabemos que
pois .

Passo 4

Resta computar
.
Uma antiderivada pode ser escrita em termos da função exponencial integral . De fato, com a mudança obtém-se
Portanto
Assim

Passo 5

Isolando , dividimos por :

Resposta

A solução geral da EDO é
onde é a constante arbitrária e é a função exponencial integral.

Exercícios relacionados