Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia:
Temos a EDO de primeira ordem
Temos a EDO de primeira ordem
que é linear no formato
aqui
e
. Vamos resolver usando o fator integrante.
Passo 2
Cálculo do fator integrante
:
Multiplicando a EDO original por obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto , ou seja,
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Para facilitar, fazemos a divisão de polinômios:
Logo,
Sabemos que
pois .
Passo 4
Resta computar
.
Uma antiderivada pode ser escrita em termos da função exponencial integral . De fato, com a mudança
obtém-se
.
Uma antiderivada pode ser escrita em termos da função exponencial integral
Portanto
Assim
Passo 5
Isolando
, dividimos por :
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é a constante arbitrária e
é a função exponencial integral.