1. Determine se a função f(x)=e^x1+e^x é contínua para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x) = e^x1 + e^x
é contínua para todo x in R.
O conteúdo envolvido é continuidade de funções compostas e de quocientes de funções contínuas, lembrando que a divisão só é permitida quando o denominador não se anula.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como e^x>0 para todo x, temos
1 + e^x > 1 + 0 = 1 neq 0
Logo, o denominador nunca se anula e o domínio de f é todo R.

Passo 3

A função x mapsto e^x é contínua em R. A soma x mapsto 1 + e^x é composição de funções contínuas, logo também contínua. Pelo teorema do quociente, o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula. Aqui o denominador é sempre positivo.

Passo 4

Concluímos que f(x)=e^x/(1+e^x) é contínua em todo o seu domínio, que é R.

Resposta

A função f é contínua para todo x in R.

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