- Determine se a função
é contínua para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua para todo
.
O conteúdo envolvido é continuidade de funções compostas e de quocientes de funções contínuas, lembrando que a divisão só é permitida quando o denominador não se anula.
O conteúdo envolvido é continuidade de funções compostas e de quocientes de funções contínuas, lembrando que a divisão só é permitida quando o denominador não se anula.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio de
. Como
para todo
, temos
Logo, o denominador nunca se anula e o domínio de
é todo
.
Passo 3
A função
é contínua em
. A soma
é composição de funções contínuas, logo também contínua. Pelo teorema do quociente, o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não se anula. Aqui o denominador é sempre positivo.
Passo 4
Concluímos que
é contínua em todo o seu domínio, que é
.
Resposta
A função
é contínua para todo
.