Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
x y^prime prime=y^prime, y(x)=x^3;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial e uma função proposta. Precisamos:
  1. Classificar a equação diferencial, indicando sua ordem e grau algébrico.
  2. Verificar se a função dada y(x) = x^3 é solução dessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ordem e grau de uma equação diferencial, além de saber como verificar se uma função é solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Na nossa equação x y'' = y' , temos a segunda derivada y'' e a primeira derivada y' . Portanto, a ordem é 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação. O grau é o expoente da maior derivada quando a equação está polinomialmente escrita em relação a todas as suas derivadas. Nossa equação é x y'' = y' . Podemos reescrever como x y'' - y' = 0 . Aqui, a maior potência da derivada y'' é 1. Então, o grau algébrico é 1.

Passo 4

Então, resumindo a classificação:
  • Ordem: 2 (porque a maior derivada é y'' )
  • Grau algébrico: 1 (porque a maior potência das derivadas é 1)
Agora vamos verificar se y(x) = x^3 é solução da equação.

Passo 5

Para verificar se y(x) = x^3 é solução, precisamos substituir y e suas derivadas na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, vamos calcular as derivadas:
  • Primeira derivada: y' = ddx(x^3) = 3x^2
  • Segunda derivada: y'' = ddx(3x^2) = 6x

Passo 6

Agora, substituímos y' e y'' na equação original:
x y'' = y'
Substituindo:
x cdot 6x = 3x^2
Simplificando:
6x^2 = 3x^2

Passo 7

Analisando a igualdade 6x^2 = 3x^2 , vemos que isso só é verdadeiro se 6x^2 - 3x^2 = 0 , ou seja, 3x^2 = 0 . Isso ocorre apenas quando x = 0 .

Resposta

A equação diferencial x y'' = y' é de segunda ordem e grau algébrico 1. A função y(x) = x^3 não é solução da equação para todo x , exceto quando x = 0 .

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