Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial e uma função proposta. Precisamos:
- Classificar a equação diferencial, indicando sua ordem e grau algébrico.
- Verificar se a função dada
é solução dessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ordem e grau de uma equação diferencial, além de saber como verificar se uma função é solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Na nossa equação
, temos a segunda derivada
e a primeira derivada
. Portanto, a ordem é 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação. O grau é o expoente da maior derivada quando a equação está polinomialmente escrita em relação a todas as suas derivadas. Nossa equação é
. Podemos reescrever como
. Aqui, a maior potência da derivada
é 1. Então, o grau algébrico é 1.
Passo 4
Então, resumindo a classificação:
- Ordem: 2 (porque a maior derivada é
) - Grau algébrico: 1 (porque a maior potência das derivadas é 1)
Agora vamos verificar se
é solução da equação.
Passo 5
Para verificar se
é solução, precisamos substituir
e suas derivadas na equação e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, vamos calcular as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Simplificando:
Passo 7
Analisando a igualdade
, vemos que isso só é verdadeiro se
, ou seja,
. Isso ocorre apenas quando
.
Resposta
A equação diferencial
é de segunda ordem e grau algébrico 1. A função
não é solução da equação para todo
, exceto quando
.