Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
4 d^2 yd x^2-4 cdot d yd x-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4d^2ydx^2-4dydx-3y=0
O conteúdo aqui é a técnica da equação característica, em que assumimos uma solução do tipo ,y=e^rx,.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação temos que as derivadas geram fatores de r, levando à equação algébrica
4r^2 -4r -3 = 0,
que é a chamada equação característica.

Passo 3

Para resolver
4r^2 -4r -3 = 0
calculamos o discriminante
De<a = (-4)^2 -4cdot4cdot(-3)=16+48=64,
e então
r = 4pmraiz642cdot4 = 4pm88
Assim obtemos as raízes reais e distintas
r1 = 4+88 = 32, r2 = 4-88 = -12

Passo 4

Quando as raízes da característica são reais e distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1 e r2 obtemos
y(x) = C1 e^tfrac32x + C2 e^-tfrac12x

Resposta

y(x) = C1 e^32x + C2 e^-12x

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