Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
3 x^2-2 x y+2+(6 y^2-x^2+3) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
3x^2 - 2xy + 2 + l(6y^2 - x^2 + 3r)dydx = 0
Reconhecemos o formato
M(x,y) + N(x,y),dydx = 0,
sendo M(x,y)=3x^2-2xy+2 e N(x,y)=6y^2-x^2+3. Para resolver usando exatidão, vamos verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e então achar uma função potencial Psi(x,y) tal que Psix=M e Psiy=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(3x^2-2xy+2r) = -2x,
partial Npartial x = partialpartial xl(6y^2-x^2+3r) = -2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Para encontrar Psi(x,y), integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral l(3x^2-2xy+2r),dx = x^3 - x^2y + 2x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N:
Psiy = partialpartial yl(x^3 - x^2y + 2x + h(y)r) = -x^2 + h'(y) stackrel!= 6y^2 - x^2 + 3
Logo
h'(y) = 6y^2 + 3 Longrightarrow h(y) = integral (6y^2+3),dy = 2y^3 + 3y
Substituindo em Psi, obtemos
Psi(x,y) = x^3 - x^2y + 2x + 2y^3 + 3y

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^3 - x^2y + 2x + 2y^3 + 3y = C,
com C constante de integração.

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