Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede (1) mostrar que ela é exata e (2) encontrar sua solução geral. Para isso usamos o conceito de equação exata: existem funções
e
tais que a equação pode ser escrita como
e ela será exata se
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integrando
em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
e igualamos a
:
Logo
, ou seja
.
Passo 5
A solução geral implícita vem de
isto é