Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
(e^x sin (y)-2 y sin (x)) d x+(e^x cos (y)+2 cos (x)) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(e^xsin(y)-2ysin(x)r),dx ;+;l(e^xcos(y)+2cos(x)r),dy ;=;0
e pede (1) mostrar que ela é exata e (2) encontrar sua solução geral. Para isso usamos o conceito de equação exata: existem funções M(x,y) e N(x,y) tais que a equação pode ser escrita como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e ela será exata se
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = e^xsin(y) ;-;2ysin(x), N(x,y) = e^xcos(y) ;+;2cos(x)
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^xcos(y) ;-;2sin(x), partial Npartial x = e^xcos(y) ;-;2sin(x)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y)
Integrando M em x:
Psi(x,y) = integral l(e^xsin(y) -2ysin(x)r),dx = e^xsin(y) + 2ycos(x) + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial Psipartial y = e^xcos(y) + 2cos(x) + h'(y)
e igualamos a N(x,y):
e^xcos(y) + 2cos(x) + h'(y) = e^xcos(y) + 2cos(x)
Logo h'(y)=0, ou seja h(y)=constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de
Psi(x,y) = C,
isto é
e^xsin(y) + 2ycos(x) = C

Resposta

e^xsin(y) + 2ycos(x) = C

Exercícios relacionados