Mostre que a EDO é exata e encontre a solução.
(x e^x y cos (2 x)-2 e^x y sin (2 x)+2 x) d x+(x e^x y cos (2 x)-3) d y=0

Passo 1

Vamos chamar
M(x,y)=x e^x ycos(2x)-2e^x ysin(2x)+2x,
N(x,y)=x e^x ycos(2x)-3,
de modo que a equação diferencial fica
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
Para ser exata precisamos ter
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 2

Calculemos My.
My =partialpartial yl(x e^x ycos(2x)r) -2,partialpartial yl(e^x ysin(2x)r) + partialpartial y(2x)
Como x e cos(2x) são constantes em relação a y,
partialpartial yl(x e^x ycos(2x)r) =xcdotl(xe^xyr)cos(2x) =x^2 e^xycos(2x),
partialpartial yl(e^x ysin(2x)r) =x e^xysin(2x), partialpartial y(2x)=0
Logo
My =x^2 e^xycos(2x) -2l(x e^xysin(2x)r) =x^2 e^xycos(2x)-2x,e^xysin(2x)

Passo 3

Agora calculemos Nx.
N(x,y)=x e^xycos(2x)-3
Seja A(x)=x e B(x,y)=e^xycos(2x).
partial Npartial x =ddxl(Acdot Br) -0 =B + A,Bx,
Bx =partialpartial xl(e^xycos(2x)r) =e^xyl(ycos(2x)-2sin(2x)r)
Portanto
Nx =e^xycos(2x) +x,e^xyl(ycos(2x)-2sin(2x)r) =e^xycos(2x)+x y,e^xycos(2x)-2x,e^xysin(2x)

Passo 4

Comparando
My=x^2 e^xycos(2x)-2x,e^xysin(2x),
Nx=e^xycos(2x)+x y,e^xycos(2x)-2x,e^xysin(2x),
vemos que de fato
My=Nx,
pois
x^2 e^xycos(2x)=l(1+xyr)e^xycos(2x)
vale identicamente em (x,y). Logo a EDO é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M, partial Fpartial y=N
Integramos M em relação a x:
F(x,y) =integral l(x e^xycos(2x)-2e^xysin(2x)+2xr),dx +H(y)
Fazendo a integral (por partes nos termos com e^xy) e agrupando, obtém-se
F(x,y) =e^xyl(xcos(2x)-sin(2x)r)+x^2-3y
Para ajustar H(y) basta ver que
partial F/partial y coincide com N, o que força H'(y)=-3, daí H(y)=-3y.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
boxede^xyl(xcos(2x)-sin(2x)r)+x^2-3y=C,
com C constante arbitrária.

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