Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
2 cdot d^2 yd x^2-3 cdot d yd x+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2d^2ydx^2 - 3dydx + y = 0
e pede a solução geral. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação:
2r^2 - 3r + 1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a e as raízes r:
De<a = (-3)^2 - 4cdot2cdot1 = 9 - 8 = 1,
r = 3 pm raiz12cdot2 = 3 pm 14,
portanto
r1 = 1, r2 = tfrac12

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1e^x + C2e^tfracx2

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