Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é bem comum em matemática:
. A matéria aqui é equações diferenciais de coeficientes constantes, especificamente as homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessas equações usando a chamada “equação característica”.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que chamamos de equação característica. Para isso, substituímos
por
e
por
. Então, nossa equação
fica assim:
Isso nos ajuda a encontrar os valores de
que vão nos dar a solução da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica que obtivemos:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, temos dois valores de
que vamos usar na próxima etapa.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada valor de
corresponde a uma parte da solução:
- Para
, a solução é uma constante, digamos . - Para
, a solução é .
Então, juntando essas duas partes, a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.