Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
y^prime prime+5 y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é bem comum em matemática: y'' + 5y' = 0 . A matéria aqui é equações diferenciais de coeficientes constantes, especificamente as homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessas equações usando a chamada “equação característica”.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que chamamos de equação característica. Para isso, substituímos y'' por r^2 e y' por r . Então, nossa equação y'' + 5y' = 0 fica assim:
r^2 + 5r = 0
Isso nos ajuda a encontrar os valores de r que vão nos dar a solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica que obtivemos:
r^2 + 5r = 0
Podemos fatorar r :
r(r + 5) = 0
Isso nos dá duas soluções para r :
r = 0 ou r = -5
Então, temos dois valores de r que vamos usar na próxima etapa.

Passo 4

Com os valores de r encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada valor de r corresponde a uma parte da solução:
  • Para r = 0 , a solução é uma constante, digamos C1 .
  • Para r = -5 , a solução é C2 e^-5x .
Então, juntando essas duas partes, a solução geral fica:
y(x) = C1 + C2 e^-5x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' + 5y' = 0 é:
y(x) = C1 + C2 e^-5x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

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