Exercício 55 - (SILVA; CAVALHEIRO, 2012) Determine a altura de um painel de propaganda situado no topo de um edifício, sabendo-se que o observador está situado a 100 m do edifício e pode visualizar a base inferior e superior, segundo um ângulo de 30^circ e 45^circ, respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos dá um observador a 100 m de um edifício, que vê a base inferior do painel sob ângulo de elevação de 30^circ e a parte superior sob 45^circ. O objetivo é determinar a altura do painel. Este problema envolve trigonometria em triângulos retângulos, usando a definição de tangente de um ângulo de elevação.

Passo 2

Para a base inferior do painel, considere o triângulo retângulo com cateto adjacente de 100 m e cateto oposto h1 (altura do solo até a base do painel). Pela definição de tangente:
tan(30^circ)=h1100
Como tan(30^circ)=1raiz3, temos
h1 = 100cdot1raiz3 = 100raiz3

Passo 3

Para o topo do painel, use outro triângulo retângulo com cateto adjacente de 100 m e cateto oposto h2 (altura do solo até o topo do painel). Pela definição de tangente:
tan(45^circ)=h2100
Como tan(45^circ)=1, segue
h2 = 100cdot 1 = 100

Passo 4

A altura do painel é a diferença entre h2 e h1:
h = h2 - h1 = 100 - 100raiz3
Em forma exata:
h = 100l(1-1raiz3r)
Aproximando numericamente:
h approx 42,3 m

Resposta

h = 100l(1-1raiz3r)approx 42,3 m

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