Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
5 x+15 y=33

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diofantina: 5x + 15y = 33. As equações diofantinas são equações com duas ou mais incógnitas onde procuramos soluções inteiras. Para resolver, vamos precisar entender sobre o Máximo Divisor Comum (MDC) e ver se ele divide o termo independente da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes das incógnitas na equação. Aqui, o coeficiente de x é 5 e o de y é 15. O termo independente é 33.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) entre 5 e 15. O MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto.

Passo 4

Calculando o MDC de 5 e 15:
  • Divisores de 5: 1, 5
  • Divisores de 15: 1, 3, 5, 15
    O maior divisor comum é 5. Então, MDC(5, 15) = 5 .

Passo 5

Para a equação diofantina ter solução, o MDC dos coeficientes deve dividir o termo independente. Aqui, verificamos se 5 divide 33.

Passo 6

Dividindo 33 por 5, temos:
33 div 5 = 6 com resto 3
Como 5 não divide 33 perfeitamente (resto diferente de zero), a equação não tem solução inteira.

Resposta

A equação diofantina 5x + 15y = 33 não possui solução com números inteiros.

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