Exercício 56 - (SILVA; CAVALHEIRO, 2012) Para que valor de m a expressão:
y=m(sen^4(x)-cos ^4(x))+2 cos ^2(x)-1+m
é independente de x ?

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que
y = ml(sen^4x - cos^4xr) + 2cos^2x - 1 + m
seja constante (independente de x). Vamos usar identidades trigonométricas: diferença de potências ( a^4-b^4), a identidade pitagórica sen^2x+cos^2x=1 e as fórmulas do ângulo duplo cos(2x)=2cos^2x-1 e sen^2x-cos^2x=-cos(2x).

Passo 2

Aplicando a diferença de quartas potências:
sen^4x - cos^4x = l(sen^2x - cos^2xr)l(sen^2x + cos^2xr) = sen^2x - cos^2x

Passo 3

Usando a identidade do ângulo duplo:
sen^2x - cos^2x = -l(cos^2x - sen^2xr) = -cos(2x)
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ml(sen^4x - cos^4xr) = ml(sen^2x - cos^2xr) = -m,cos(2x)

Passo 4

Também sabemos que
2cos^2x - 1 = cos(2x)
Substituindo em y:
y = -m,cos(2x) + cos(2x) + m = (1 - m),cos(2x) + m

Passo 5

Para y não depender de x, o coeficiente de cos(2x) deve ser zero:
1 - m = 0 Longrightarrow m = 1

Passo 6

Com m=1, temos y = 1, que é de fato constante.

Resposta

m = 1.

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