Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diofantina, que é uma equação do tipo
. Esse tipo de equação busca soluções onde x e y são números inteiros. Para saber se essa equação tem pelo menos uma solução, vamos usar alguns conceitos básicos de matemática, como o Máximo Divisor Comum (MDC).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma equação diofantina. São equações que envolvem incógnitas inteiras. A forma geral de uma equação diofantina linear é
, onde a, b e c são números inteiros, e queremos encontrar valores inteiros para x e y que satisfazem a equação.
Passo 3
Para essa equação ter solução, o MDC dos coeficientes de x e y (neste caso, 3 e 5) precisa dividir o termo independente, que aqui é 223. Então, vamos calcular o MDC de 3 e 5.
Passo 4
O MDC de 3 e 5 é 1, porque 3 e 5 são números primos entre si, ou seja, não têm nenhum divisor comum além de 1.
Passo 5
Agora, verificamos se esse MDC (que é 1) divide o número 223. Como qualquer número inteiro é divisível por 1, isso significa que 1 divide 223. Portanto, a equação
tem pelo menos uma solução inteira.
Resposta
A equação diofantina
possui pelo menos uma solução inteira.