Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
3 x+5 y=223

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diofantina, que é uma equação do tipo 3x + 5y = 223. Esse tipo de equação busca soluções onde x e y são números inteiros. Para saber se essa equação tem pelo menos uma solução, vamos usar alguns conceitos básicos de matemática, como o Máximo Divisor Comum (MDC).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma equação diofantina. São equações que envolvem incógnitas inteiras. A forma geral de uma equação diofantina linear é ax + by = c, onde a, b e c são números inteiros, e queremos encontrar valores inteiros para x e y que satisfazem a equação.

Passo 3

Para essa equação ter solução, o MDC dos coeficientes de x e y (neste caso, 3 e 5) precisa dividir o termo independente, que aqui é 223. Então, vamos calcular o MDC de 3 e 5.

Passo 4

O MDC de 3 e 5 é 1, porque 3 e 5 são números primos entre si, ou seja, não têm nenhum divisor comum além de 1.

Passo 5

Agora, verificamos se esse MDC (que é 1) divide o número 223. Como qualquer número inteiro é divisível por 1, isso significa que 1 divide 223. Portanto, a equação 3x + 5y = 223 tem pelo menos uma solução inteira.

Resposta

A equação diofantina 3x + 5y = 223 possui pelo menos uma solução inteira.

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