Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
t y^{\prime}-y=t \cos t-\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
t\,y' - y = t\cos t - \sin t,
que é linear em y. Para resolver, vamos colocá-la em forma padrão y' + P(t)\,y = Q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (considerando t\neq 0), obtemos
y' - \frac{1}{t}y = \cos t - \frac{\sin t}{t}.

Passo 3

Para uma equação y' + P(t)\,y = Q(t), o fator integrante é
\mu(t) = e^{\int P(t)\,dt} = e^{\int \left(-\frac{1}{t}\right)dt} = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{t}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t), fica
\frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^2}y = \frac{\cos t}{t} - \frac{\sin t}{t^2}.
O lado esquerdo é a derivada de \tfrac{y}{t}:
\left(\frac{y}{t}\right)' = \frac{y't - y}{t^2} = \frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^2}y.
Assim,
\left(\frac{y}{t}\right)' = \frac{\cos t}{t} - \frac{\sin t}{t^2} = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{\sin t}{t}\Bigr).

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos
\frac{y}{t} = \frac{\sin t}{t} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Multiplicando por t, chega-se à solução geral
y(t) = \sin t + C\,t.

Resposta

y(t) = \sin t + C\,t.

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