Queremos mostrar que f não é integrável em [0,1] no sentido de Riemann. Para isso vamos usar as somas de Darboux e comparar a integral inferior com a integral superior.
Passo 2
Uma propriedade crucial é que os racionais e os irracionais são densos em \mathbb R. Assim, em qualquer subintervalo não trivial I\subset[0,1] sempre existem pontos racionais e pontos irracionais. Logo
\sup_{x\in I}f(x)=1, \qquad \inf_{x\in I}f(x)=0.
Passo 3
Considere uma partição arbitrária
P=\{0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1\}.
A soma inferior de Darboux é
L(P,f)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\,m_i,
onde
m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x).
Como cada intervalo [x_{i-1},x_i] contém irracionais, temos m_i=0 para todo i. Portanto
L(P,f)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\cdot 0=0,
e a integral inferior é
\underline\int_0^1 f = \sup_P L(P,f) = 0.
Passo 4
A soma superior de Darboux é
U(P,f)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\,M_i,
onde
M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x).
Cada [x_{i-1},x_i] contém racionais, então M_i=1. Assim
U(P,f)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\cdot 1 = 1,
e a integral superior é
\overline\int_0^1 f = \inf_P U(P,f) = 1.
Passo 5
Como
\underline\int_0^1 f = 0 \quad\text{e}\quad \overline\int_0^1 f = 1,
essas duas quantidades não coincidem. Pelo critério de integrabilidade de Riemann, fnão é integrável em [0,1].