Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
y^{\prime}=\left(\cos ^{2} t\right)\left(\cos ^{2} 2 y\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = \bigl(\cos^2 t\bigr)\,\bigl(\cos^2(2y)\bigr)
e pede sua solução explícita quando possível. O conteúdo envolvido é o método de variáveis separáveis, em que a gente escreve todos os y de um lado e todos os t do outro para depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{\cos^2(2y)} = \cos^2 t\,dt.
Repare que \tfrac{1}{\cos^2(2y)}=\operatorname{sec}^2(2y).

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int \frac{dy}{\cos^2(2y)} \;=\;\int \cos^2 t\,dt.

Passo 4

No lado esquerdo usamos
\int \operatorname{sec}^2(2y)\,dy = \frac{1}{2}\,\tan(2y) + C_1.
No direito lembramos que \cos^2 t=(1+\cos2t)/2, então
\int \cos^2 t\,dt =\int \frac{1+\cos2t}{2}\,dt =\frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin(2t) + C_2.

Passo 5

Igualando as duas primitivas (e absorvendo C_1-C_2 num único C), temos
\frac{1}{2}\,\tan(2y) =\frac{1}{2}\,t+\frac{1}{4}\sin(2t)+C \quad\Longrightarrow\quad \tan(2y)=t+\frac{1}{2}\sin(2t)+C_1.

Passo 6

Para isolar y, aplicamos a função arco-tangente. Como \tan tem período \pi, a solução geral é
2y = \arctan\!\Bigl(t+\tfrac12\sin(2t)+C_1\Bigr)+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},
ou seja
y(t)=\frac{1}{2}\,\arctan\!\Bigl(t+\tfrac12\sin(2t)+C_1\Bigr)+\frac{k\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(t) =\frac{1}{2}\,\arctan\!\Bigl(t+\tfrac12\sin(2t)+C\Bigr)+\frac{k\pi}{2}, \quad C\in\mathbb{R},\;k\in\mathbb{Z}.

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