f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}} . \quad Calcule a derivada

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}}
e pede f'(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia (pois temos uma função elevada à 1/4) e a regra do quociente (para derivar \frac{x^3+1}{x^3-1}).

Passo 2

Escrevemos
f(x)=h\bigl(g(x)\bigr),
onde
h(t)=t^{1/4} \quad\text{e}\quad g(x)=\frac{x^3+1}{x^3-1}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot\,g'(x).
Como h(t)=t^{1/4}, temos
h'(t)=\frac{1}{4}\,t^{-3/4}.

Passo 3

Agora derivamos
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, \quad u(x)=x^3+1, \quad v(x)=x^3-1.
Pela regra do quociente,
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Como u'(x)=3x^2 e v'(x)=3x^2, segue
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x) =3x^2\,(x^3-1)-3x^2\,(x^3+1) =3x^2\bigl(x^3-1-x^3-1\bigr) =3x^2(-2) =-6x^2.
Portanto
g'(x) =\frac{-6x^2}{(x^3-1)^2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{1}{4}\bigl(g(x)\bigr)^{-3/4}\,\cdot\,g'(x) =\frac{1}{4}\left(\frac{x^3+1}{x^3-1}\right)^{-3/4} \cdot\frac{-6x^2}{(x^3-1)^2}.

Passo 5

Basta simplificar coeficientes e potências. Note que
\left(\frac{x^3+1}{x^3-1}\right)^{-3/4} =(x^3+1)^{-3/4}\,(x^3-1)^{3/4}.
Então
f'(x) =-\frac{6x^2}{4}\, (x^3+1)^{-3/4}\,(x^3-1)^{3/4-2} =-\frac{3x^2}{2}\, (x^3+1)^{-3/4}\,(x^3-1)^{-5/4}.
Em forma mais limpa:
f'(x) =-\frac{3x^2}{2\,(x^3+1)^{3/4}\,(x^3-1)^{5/4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3x^2}{2\,(x^3+1)^{3/4}\,(x^3-1)^{5/4}}.

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