Calcule o pH de uma solução preparada pela mistura de 0,0800 \mathrm{~mol} de ácido tricloroacético mais 0,040 \mathrm{~mol} de tricloroacetato de sódio em 1,00 \mathrm{~L} de água. (procure pelo valor da constante de equilíbrio nos livros)

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o pH de uma solução preparada misturando 0,0800\\ \mathrm{mol} de ácido tricloroacético (HA) com 0,0400\\ \mathrm{mol} de tricloroacetato de sódio (A⁻ como íon conjugado) em 1,00\\ \mathrm{L} de água.
Informações dadas:
  • Número de mols de ácido: 0,0800\\ \mathrm{mol}.
  • Número de mols da base conjugada (tricloroacetato): 0,0400\\ \mathrm{mol}.
  • Volume total da solução: 1,00\\ \mathrm{L}.
Observação sobre a constante de equilíbrio:
  • Foi consultado valor típico em livros para o ácido tricloroacético. Adotarei como valor de equilíbrio
K_a = 0{,}20
o que corresponde a pK_a\approx 0{,}699. (Esse é um valor de referência encontrado em tabelas de ácidos orgânicos.)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • O ácido tricloroacético (HA) se ioniza segundo a reação
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-.
  • A constante de acidez K_a é definida por
K_a=\dfrac{[\mathrm{H}^+]\,[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]},
onde [\mathrm{H}^+] é a concentração de íons hidrogênio no equilíbrio, [\mathrm{A}^-] é a concentração do íon conjugado e [\mathrm{HA}] é a concentração do ácido não dissociado, todas em mol·L^{-1}.
  • A equação de Henderson–Hasselbalch (útil para tampones) é obtida tomando o logaritmo dessa definição:
\mathrm{pH} = pK_a + \log\!\left(\dfrac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Aqui pK_a = -\log_{10} K_a. Essa fórmula é muito prática, mas ela dá o valor correto quando se usa as concentrações efetivas no equilíbrio. Frequentemente usa-se as concentrações iniciais como aproximação — isso só é seguro se a ionização adicional for desprezível. Quando K_a é da mesma ordem das concentrações iniciais, essa aproximação pode falhar e então é preciso resolver o equilíbrio completo (ICE + equação de K_a). Neste problema K_a é relativamente grande comparada às concentrações dadas, então faremos o tratamento exato do equilíbrio.

Passo 3

Calcular as concentrações iniciais (antes de qualquer dissociação) a partir dos mols e do volume:
  • Como o volume total é 1{,}00\\ \mathrm{L}, as concentrações iniciais são iguais aos números de mols.
[\mathrm{HA}]_0 = \dfrac{0{,}0800\\ \mathrm{mol}}{1{,}00\\ \mathrm{L}} = 0{,}0800\\ \mathrm{M}, \qquad [\mathrm{A}^-]_0 = \dfrac{0{,}0400\\ \mathrm{mol}}{1{,}00\\ \mathrm{L}} = 0{,}0400\\ \mathrm{M}.
Se aplicássemos a forma simplificada da equação de Henderson–Hasselbalch usando essas concentrações iniciais, obteríamos
\mathrm{pH} \approx pK_a + \log\!\left(\dfrac{0{,}0400}{0{,}0800}\right) = 0{,}699 + \log(0{,}5) = 0{,}699 - 0{,}3010 \approx 0{,}398.
Mas, como explicado acima, essa aproximação pode ser incorreta aqui porque K_a (0{,}20) não é muito pequeno comparado às concentrações; portanto vamos resolver o equilíbrio exatamente.

Passo 4

Montar tabela ICE (Initial — Change — Equilibrium) para a reação
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-.
  • Inicialmente:
[\mathrm{HA}] = 0{,}0800,\quad [\mathrm{A}^-] = 0{,}0400,\quad [\mathrm{H}^+] \approx 0.
  • Seja x a concentração de \mathrm{H}^+ formada no equilíbrio (ou seja, a ionização adicional do ácido). As variações são:
[\mathrm{HA}]:\; 0{,}0800 - x, \qquad [\mathrm{A}^-]:\; 0{,}0400 + x, \qquad [\mathrm{H}^+]:\; x.
  • Substituindo na expressão de K_a:
K_a = \dfrac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]} \quad\Longrightarrow\quad 0{,}20 = \dfrac{x(0{,}0400 + x)}{0{,}0800 - x}.

Passo 5

Resolver a equação para x (álgebra passo a passo):
Multiplicando ambos os lados por (0{,}0800 - x):
0{,}20(0{,}0800 - x) = x(0{,}0400 + x).
Calcular o lado esquerdo:
0{,}20\cdot 0{,}0800 = 0{,}0160,
portanto
0{,}0160 - 0{,}20x = 0{,}0400x + x^2.
Passando todos os termos para um lado:
x^2 + 0{,}0400x + 0{,}20x - 0{,}0160 = 0
x^2 + 0{,}2400x - 0{,}0160 = 0.
Agora aplicamos a fórmula quadrática x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} com a=1, b=0{,}2400, c=-0{,}0160.
Calcular o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (0{,}2400)^2 - 4(1)(-0{,}0160) = 0{,}05760 + 0{,}06400 = 0{,}12160.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{0{,}12160} \approx 0{,}3487.
Solução positiva para x:
x = \dfrac{-0{,}2400 + 0{,}3487}{2} = \dfrac{0{,}1087}{2} \approx 0{,}05435\\ \mathrm{M}.
(Desprezamos a raiz negativa porque x deve ser não-negativa e menor que 0{,}0800.)

Passo 6

Determinar o pH a partir de [\mathrm{H}^+]=x:
[\mathrm{H}^+] = x \approx 0{,}05435\\ \mathrm{M}.
O pH é definido por \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]. Então
\mathrm{pH} = -\log_{10}(0{,}05435) \approx 1{,}265.
Verificação rápida com Henderson–Hasselbalch usando concentrações de equilíbrio:
  • Concentrações de equilíbrio:
[\mathrm{HA}]_{\text{eq}} = 0{,}0800 - x \approx 0{,}0800 - 0{,}05435 = 0{,}02565,
[\mathrm{A}^-]_{\text{eq}} = 0{,}0400 + x \approx 0{,}09435.
Aplicando Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH} = pK_a + \log\!\left(\dfrac{[\mathrm{A}^-]_{\text{eq}}}{[\mathrm{HA}]_{\text{eq}}}\right) \approx 0{,}699 + \log\!\left(\dfrac{0{,}09435}{0{,}02565}\right) = 0{,}699 + \log(3{,}676) \approx 0{,}699 + 0{,}566 \approx 1{,}265,
que confirma o resultado obtido pela solução do equilíbrio.

Passo 7

Interpretação final e observação prática:
  • O resultado mostra que a mistura de ácido e seu sal forma uma solução ácida (pH menor que 7), como esperado.
  • A diferença grande entre o resultado obtido pela aproximação com concentrações iniciais (pH ≈ 0{,}398) e o resultado exato (pH ≈ 1{,}265) evidencia que, quando K_a não é muito pequeno em comparação com as concentrações iniciais, é necessário resolver o equilíbrio completo em vez de usar diretamente as concentrações iniciais na equação de Henderson–Hasselbalch.

Resposta

\mathrm{pH} \approx 1{,}265

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