Calcule a soma das raízes da equação a seguir.
cccc x & 0 & 0 & 0 0 & x^2-1 & 0 & 0 -1 & 0 & 3 x+6 & 0 -4 & 0 & 0 & x^3-8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
det x & 0 & 0 & 0 0 & x^2-1 & 0 & 0 -1 & 0 & 3x+6 & 0 -4 & 0 & 0 & x^3-8 =0
ou seja, encontrar as raízes do polinômio dado pelo determinante. Vamos usar expansão de Laplace para calcular esse determinante de modo a fatorá-lo e, em seguida, aplicar Vieta (soma das raízes).

Passo 2

Expandimos pela segunda coluna, já que só há um elemento não nulo ali, na posição (2,2). Assim,
det A ;=;(x^2-1),det x & 0 & 0 -1 & 3x+6 & 0 -4 & 0 & x^3-8 ,
com sinal positivo porque (-1)^2+2=+1.

Passo 3

Chamando de M a matriz 3times3 acima, expandimos M pela segunda coluna (único elemento não nulo em (2,2)):
det M ;=;(3x+6),det x & 0 -4 & x^3-8 =(3x+6)l[x(x^3-8)-0cdot(-4)r] =(3x+6),(x^4-8x)

Passo 4

Portanto o determinante original é
det A = (x^2-1),(3x+6),(x^4-8x)
Fatorando cada parte:
x^2-1=(x-1)(x+1), 3x+6=3(x+2), x^4-8x = x(x^3-8)=x(x-2)(x^2+2x+4)
Então
det A = 3,x,(x-2),(x-1),(x+1),(x+2),(x^2+2x+4)

Passo 5

As raízes reais e complexas são
x=0,;2,;1,;-1,;-2,; -2pmraiz4-162 = -1pm iraiz3
Para obter a soma de todas as raízes (contando as complexas), basta somar:
0 + 2 + 1 + (-1) + (-2) + l(-1 + iraiz3r) + l(-1 - iraiz3r) = (0+2+1-1-2) + (-1-1) + (iraiz3 - iraiz3) = 0 -2 + 0 = -2

Resposta

-2

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