Seja lambda um autovalor de T: V V, onde V é um K-espaço vetorial de dimensão finita. Então,
m g(lambda) <= m a(lambda)

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T:Vto V num espaço vetorial de dimensão finita sobre K e um autovalor lambda. Define-se
– a multiplicidade algébrica ma(lambda) como a multiplicidade de (x-lambda) no polinômio característico pT(x),
– a multiplicidade geométrica mg(lambda) como dimker(T-lambda I).
Queremos mostrar que
mg(lambda)<= ma(lambda)

Passo 2

Aplicamos a decomposição primária: como lambda é autovalor, o espaço se decompõe em
V ;=; Elambda ;oplus; W,
onde
Elambda = lvin V : (T-lambda I)^N v =0 r
é o subespaço generalizado de lambda (espaço próprio generalizado) e W é um complemento T-invariante sem o valor lambda.

Passo 3

Na decomposição do polinômio característico temos
pT(x) = pT|Elambda(x),pT|W(x)
Como T|W não tem autovalor lambda, seu fator pT|W(x) não contém (x-lambda). E T|Elambda tem único autovalor lambda, logo
pT|Elambda(x) = (x-lambda)^dim Elambda
Por outro lado, pT(x) contém (x-lambda)^ma(lambda). Comparando, obtemos
dim Elambda = ma(lambda)

Passo 4

Agora restrinjamos T-lambda I a Elambda. Seja
N = (T-lambda I)|Elambda,
que é nilpotente e satisfaz N^N=0. A multiplicidade geométrica é
mg(lambda) ;=;dimker(T-lambda I) ;=;dimker N
Claro que
ker N subseteq Elambda Longrightarrow dimker N <= dim Elambda

Passo 5

Juntando os resultados:
mg(lambda) = dimker N ;<=; dim Elambda = ma(lambda)

Resposta

mg(lambda)<= ma(lambda)

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