Seja um autovalor de , onde é um -espaço vetorial de dimensão finita. Então,
Passo 1
O enunciado considera um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita sobre e um autovalor . Define-se
– a multiplicidade algébrica como a multiplicidade de no polinômio característico ,
– a multiplicidade geométrica como .
Queremos mostrar que
Passo 2
Aplicamos a decomposição primária: como é autovalor, o espaço se decompõe em
onde
é o subespaço generalizado de (espaço próprio generalizado) e é um complemento -invariante sem o valor .
Passo 3
Na decomposição do polinômio característico temos
Como não tem autovalor , seu fator não contém . E tem único autovalor , logo
Por outro lado, contém . Comparando, obtemos
Passo 4
Agora restrinjamos a . Seja
que é nilpotente e satisfaz N^N=0. A multiplicidade geométrica é
mg(lambda) ;=;dimker(T-lambda I) ;=;dimker N
Claro que
ker N subseteq Elambda Longrightarrow dimker N <= dim Elambda
Passo 5
Juntando os resultados:
mg(lambda) = dimker N ;<=; dim Elambda = ma(lambda)