Seja um operador linear onde é um espaço vetorial sobre de dimensão finita e sejam , autovalores de dois a dois distintos. Então:
Se , , então para cada .
Passo 1
O enunciado diz que é um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita, e são autovalores distintos de . Cada está na respectiva autovetor–espaço . Queremos mostrar que, se
então obrigatoriamente cada . O que vamos usar é a ideia de construir um polinômio que anule todos os menos um, isolando-o por multiplicação em .
Passo 2
Fixe um índice e considere o polinômio
Note que, se , então , enquanto
porque os são todos distintos.
Passo 3
Como é um polinômio, podemos aplicá-lo ao operador e obter o operador . Usando a propriedade de autovetor, para cada vale
Em particular, se , então , e se temos
Passo 4
Agora aplique à soma . Como é linear,
Mas Pj(lambdaj)neq0, logo só há uma possibilidade: vj=0.
Passo 5
O argumento do Passo 4 vale para cada índice j=1,2,dots,m. Concluímos que
vj=0para todo j=1,dots,m
Resposta
Cada vi deve ser o vetor zero, isto é, vi=0 para todo i=1,dots,m.