Seja T: V V um operador linear onde V é um espaço vetorial sobre K de dimensão finita e sejam lambda1, lambda2, cdots, lambdam, m <= 1, autovalores de T dois a dois distintos. Então:
Se v1+v2+cdots+vm=0, com vi in Aut tT(lambdai), então vi=0 para cada i=1, cdots, m.

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto V é um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita, e lambda1,dots,lambdam são autovalores distintos de T. Cada vi está na respectiva autovetor–espaço ker(T-lambdaiI). Queremos mostrar que, se
v1+v2+cdots+vm=0,
então obrigatoriamente cada vi=0. O que vamos usar é a ideia de construir um polinômio que anule todos os vj menos um, isolando-o por multiplicação em T.

Passo 2

Fixe um índice e considere o polinômio
Note que, se , então , enquanto
porque os são todos distintos.

Passo 3

Como Pj é um polinômio, podemos aplicá-lo ao operador T e obter o operador Pj(T). Usando a propriedade de autovetor, para cada i vale
Pj(T),vi = Pj(lambdai),vi
Em particular, se ineq j, então Pj(T),vi=0, e se i=j temos
Pj(T),vj = Pj(lambdaj),vj, Pj(lambdaj)neq0

Passo 4

Agora aplique Pj(T) à soma v1+cdots+vm=0. Como Pj(T) é linear,
0 = Pj(T)l(v1+cdots+vmr) = sumi=1^m Pj(T),vi = underbrace0+cdots+0ineq j + Pj(lambdaj),vj = Pj(lambdaj),vj
Mas Pj(lambdaj)neq0, logo só há uma possibilidade: vj=0.

Passo 5

O argumento do Passo 4 vale para cada índice j=1,2,dots,m. Concluímos que
vj=0para todo j=1,dots,m

Resposta

Cada vi deve ser o vetor zero, isto é, vi=0 para todo i=1,dots,m.

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