Calcule todas as raízes dos polinômios abaixo:
(a) p(x)=x^{3}+4 x^{2}+x-6, sabendo que p(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6 e informa que p(1)=0. Ele pede: calcular todas as raízes (ou seja, todos os valores de x tais que p(x)=0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Polinômio: p(x)=x^{3}+4x^{2}+x-6.
  • Foi dado que p(1)=0, o que significa que x=1 é uma raiz conhecida.

Passo 2

Conceito útil (teorema do fator): se um número a satisfaz p(a)=0, então (x-a) é um fator de p(x). Ou seja, podemos dividir p(x) por (x-a) e obter um quociente polinomial sem resto. Aqui, como p(1)=0, sabemos que (x-1) divide p(x). O objetivo prático é dividir p(x) por (x-1) para reduzir o grau do polinômio de 3 para 2 e então resolver essa quadrática.
Explicação do método de divisão sintética (mais rápido para dividir por (x-c)):
  • Escreve-se os coeficientes do polinômio em ordem: para x^{3}+4x^{2}+x-6 os coeficientes são 1,\;4,\;1,\;-6.
  • Coloca-se o valor c (aqui c=1) à esquerda e procede-se com as operações: traz o primeiro coeficiente para baixo; multiplica esse valor por c e soma ao próximo coeficiente; repete até obter o resto (que deve ser zero se c for raiz).

Passo 3

Aplicando divisão sintética com c=1 aos coeficientes 1,\;4,\;1,\;-6:
  • Começo: trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por 1 (o c) e somo ao próximo coeficiente: 4 + 1\cdot1 = 5.
  • Multiplico 5 por 1 e somo ao próximo coeficiente: 1 + 1\cdot5 = 6.
  • Multiplico 6 por 1 e somo ao último coeficiente: -6 + 1\cdot6 = 0 (resto zero, como esperado).
Os números obtidos (exceto o resto) são 1,\;5,\;6, que são os coeficientes do quociente quadrático. Portanto a divisão fornece:
p(x)=(x-1)\bigl(x^{2}+5x+6\bigr).

Passo 4

Agora resolvemos a quadrática x^{2}+5x+6. Dois métodos possíveis:
  1. Fatoração direta: procurar dois números que multiplicam 6 e somam 5. Esses números são 2 e 3. Logo
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
  1. (Alternativa) Fórmula de Bhaskara: para uma quadrática ax^{2}+bx+c, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1,\;b=5,\;c=6. Calculando o discriminante b^{2}-4ac=25-24=1 e aplicando a fórmula, obtém-se x=\dfrac{-5\pm1}{2}, ou seja x=-2 e x=-3. (Isso confirma a fatoração.)

Passo 5

Juntando tudo: do Passo 2 já tínhamos a raiz x=1 (porque (x-1) é fator) e do Passo 4 obtemos as raízes x=-2 e x=-3. Podemos verificar rapidamente: substituir cada raiz em p(x) dá zero (verificação opcional, mas consistente com a divisão sintética que teve resto zero).

Resposta

x=1
x=-2
x=-3

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