Calcule todas as raízes dos polinômios abaixo:
(a)
, sabendo que
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
. Ele pede: calcular todas as raízes (ou seja, todos os valores de
tais que
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Polinômio:
. - Foi dado que
, o que significa que é uma raiz conhecida.
Passo 2
Conceito útil (teorema do fator): se um número
satisfaz
, então
é um fator de
. Ou seja, podemos dividir
por
e obter um quociente polinomial sem resto. Aqui, como
, sabemos que
divide
. O objetivo prático é dividir
por
para reduzir o grau do polinômio de 3 para 2 e então resolver essa quadrática.
Explicação do método de divisão sintética (mais rápido para dividir por
):
- Escreve-se os coeficientes do polinômio em ordem: para
os coeficientes são . - Coloca-se o valor
(aqui ) à esquerda e procede-se com as operações: traz o primeiro coeficiente para baixo; multiplica esse valor por e soma ao próximo coeficiente; repete até obter o resto (que deve ser zero se for raiz).
Passo 3
Aplicando divisão sintética com
aos coeficientes
:
- Começo: trago
para baixo. - Multiplico
por (o ) e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao último coeficiente: (resto zero, como esperado).
Os números obtidos (exceto o resto) são
, que são os coeficientes do quociente quadrático. Portanto a divisão fornece:
Passo 4
Agora resolvemos a quadrática
. Dois métodos possíveis:
- Fatoração direta: procurar dois números que multiplicam
e somam . Esses números são e . Logo
- (Alternativa) Fórmula de Bhaskara: para uma quadrática
, as raízes são
Aqui
. Calculando o discriminante
e aplicando a fórmula, obtém-se
, ou seja
e
. (Isso confirma a fatoração.)
Passo 5
Juntando tudo: do Passo 2 já tínhamos a raiz
(porque
é fator) e do Passo 4 obtemos as raízes
e
. Podemos verificar rapidamente: substituir cada raiz em
dá zero (verificação opcional, mas consistente com a divisão sintética que teve resto zero).