Calcule a soma
dos seguintes subespaços vetoriais de
e verifique se a soma é direta.
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma dos subespaços
e verificar se essa soma é direta. Vamos usar os conceitos de parametricização de subespaços, soma de subespaços e interseção para soma direta.
Passo 2
Parametrizamos cada subespaço:
Para a equação
dá
, logo
Para
ou seja
Para
temos
e
, logo
ou seja
Passo 3
A soma
é o subespaço gerado pelos três vetores
Basta verificar que eles são linearmente independentes, por exemplo calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
Como são três vetores independentes em
R^3 , eles geram todo
R^3 . Portanto
Passo 4
Para ver se a soma é direta, calculamos
um vetor em
S2 é
t(1,2,0) . Se também pertence a
S1 , deve satisfazer
Logo a única interseção é o vetor zero, ou seja
S1cap S2=0 . Isso mostra que a soma é direta.