Calcule a soma S1+S2 dos seguintes subespaços vetoriais de R^3 e verifique se a soma é direta.
S1=(x, y, z) mid x+2 y+3 z=0, S2=(x, y, 0) mid y=2 x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos subespaços
S1=(x,y,z)in R^3mid x+2y+3z=0, S2=(x,y,0)in R^3mid y=2x
e verificar se essa soma é direta. Vamos usar os conceitos de parametricização de subespaços, soma de subespaços e interseção para soma direta.

Passo 2

Parametrizamos cada subespaço:
Para a equação , logo
ou seja
Para temos e , logo
ou seja

Passo 3

A soma S1+S2 é o subespaço gerado pelos três vetores
(-2,1,0), (-3,0,1), (1,2,0)
Basta verificar que eles são linearmente independentes, por exemplo calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
det -2 & -3 & 1 ;1 & ;0 & 2 ;0 & ;1 & 0 =-2,(0cdot0-1cdot2) -(-3),(1cdot0-0cdot2) +1,(1cdot1-0cdot0) =4+0+1=5neq0
Como são três vetores independentes em R^3, eles geram todo R^3. Portanto
S1+S2= R^3

Passo 4

Para ver se a soma é direta, calculamos
S1cap S2:
um vetor em S2 é t(1,2,0). Se também pertence a S1, deve satisfazer
t + 2cdot(2t) +3cdot0 =5t=0 Longrightarrow t=0
Logo a única interseção é o vetor zero, ou seja S1cap S2=0. Isso mostra que a soma é direta.

Resposta

S1+S2= R^3 e a soma é direta ( S1oplus S2= R^3).

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