Utilize o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar o conjunto de vetores (1,1,0),(1,0,1) em R^3 com o produto interno padrão.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto de vetores (1,1,0),(1,0,1) em R^3 com o produto interno padrão. Vamos gerar um sistema ortonormal e1,e2 que gera o mesmo subespaço inicial.

Passo 2

Definimos u1 = v1 = (1,1,0). Calculamos seu comprimento e normalizamos para obter e1:
|u1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2,
e1 = u1|u1| = l(1raiz2,,1raiz2,,0r)

Passo 3

Projetamos v2 = (1,0,1) sobre e1 e subtraímos para obter u2:
lang<= v2, e1rang<= = 1cdot1raiz2 + 0cdot1raiz2 + 1cdot 0 = 1raiz2,
proje1(v2) = lang<= v2,e1rang<=,e1 = 1raiz2l(1raiz2,,1raiz2,,0r) = l(tfrac12,tfrac12,0r),
u2 = v2 - proje1(v2) = l(1,0,1r) - l(tfrac12,tfrac12,0r) = l(tfrac12,-tfrac12,1r)

Passo 4

Calculamos o comprimento de u2 e normalizamos para obter e2. Note que u2 = tfrac12(1,-1,2), logo
|u2| = 12raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 12raiz6 = raiz62,
e2 = u2|u2| = tfrac12(1,-1,2)tfracraiz62 = 1raiz6,(1,-1,2)

Resposta

As duas primeiras vetores ortonormais gerados pelo processo de Gram–Schmidt são:
e1 = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r), e2 = l(tfrac1raiz6,,-tfrac1raiz6,,tfrac2raiz6r)

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