Calcule a soma da série S=sumn=1^infty 3^n-1(-5)^n+1

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
S = sumn=1^infty 3^n-1(-5)^n+1
O conteúdo envolvido é a soma de uma progressão geométrica infinita, para a qual usaremos a fórmula
sumk=0^infty a,r^k = a1-r,se |r|<1

Passo 2

Vamos reindexar a soma para começar em k=0. Seja k = n-1, então n = k+1 e
3^n-1(-5)^n+1 = 3^k(-5)^k+2 = 3^k(-5)^kcdot(-5)^2 = 3^k(-5)^kcdot25 = 125l(3-5r)^k = 125l(-35r)^k
Portanto
S = sumn=1^infty3^n-1(-5)^n+1 = sumk=0^infty125l(-35r)^k

Passo 3

Na forma sumk=0^infty a,r^k temos
a = 125, r = -35
Como lvert rrvert = tfrac35<1, a série converge e podemos aplicar a fórmula da soma.

Passo 4

Aplicando
sumk=0^inftya,r^k = a1-r,
obtemos
S = tfrac1251 - l(-tfrac35r) = tfrac1251 + tfrac35 = tfrac125tfrac85 = 125cdot58 = 140

Resposta

140

Exercícios relacionados