Calcule a soma da série S=sumn=1^infty 2^n+3^n4^n+1

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
S = sumn=1^infty 2^n + 3^n4^n+1
O conteúdo aqui é soma de séries geométricas. Vamos separar a soma em duas partes para facilitar.

Passo 2

Escrevendo a soma em duas séries, temos
S = sumn=1^infty 2^n4^n+1 ;+; sumn=1^infty 3^n4^n+1
Note que tfrac14^n+1 = tfrac14,tfrac14^n. Assim,
S = 14sumn=1^inftyl(tfrac24r)^n ;+; 14sumn=1^inftyl(tfrac34r)^n

Passo 3

Na primeira soma, a razão é
r1 = 24 = 12
A soma de uma série geométrica sumn=1^inftyr1^n vale
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n = r11 - r1 = tfrac121 - tfrac12 = 1
Portanto a primeira parte é
14cdot 1 = 14

Passo 4

Na segunda soma, a razão é
r2 = 34
Logo
sumn=1^inftyl(tfrac34r)^n = r21 - r2 = tfrac341 - tfrac34 = 3
E a segunda parte da série é
14cdot 3 = 34

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
S = 14 + 34 = 1

Resposta

1

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