Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
integral0^a 1raizx(a-x) d x

Passo 1

O enunciado pede o estudo de convergência da integral imprópria
integral0^a1raizx(a-x),dx
que é singular em x=0 e x=a. Vamos verificar o comportamento da função perto de cada singularidade e opcionalmente calcular seu valor.

Passo 2

Quando xto0^+, temos
1raizx(a-x)sim1raiza,x =1raiza,x^-tfrac12
Como a integral integral0^varepsilonx^-tfrac12dx=2varepsilon^tfrac12 é finita, não há divergência em 0.

Passo 3

Quando xto a^-, definimos u=a-x. Então
1raizx(a-x)sim1raiza,u =1raiza,u^-tfrac12,
e integral0^varepsilonu^-tfrac12du=2varepsilon^tfrac12 também converge. Logo, não há divergência em a.

Passo 4

Tanto em 0 quanto em a a singularidade é do tipo t^-tfrac12, que é integrável. Portanto, a integral é convergente. Opcionalmente, usando a substituição
x=asin^2theta, dx=2asinthetacostheta,dtheta,
temos
raizx(a-x)=asinthetacostheta longrightarrow integral0^adxraizx(a-x)=2integral0^pi/2dtheta =pi

Resposta

A integral é convergente e vale pi.

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