Calcule a soma da série S=sumn=1^infty 2^n+2(-4)^n+1

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
S = sumn=1^infty 2^n+2(-4)^n+1
Isso é uma série geométrica, então vamos reescrever o termo geral na forma de uma progressão geométrica e usar a fórmula da soma sumn=1^infty a1 r^n-1 = tfraca11-r, desde que |r|<1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral:
2^n+2(-4)^n+1 = 2^n+2(-4),(-4)^n = -,2^n+24^ncdot4 = -l(24r)^n = -l(tfrac12r)^n(-1)^n = -l(-tfrac12r)^n
Logo o n-ésimo termo é
an = -l(-tfrac12r)^n
O primeiro termo é
a1 = -l(-tfrac12r)^1 = tfrac12
e a razão é
r = -tfrac12

Passo 3

Verificamos que lvert rrvert = tfrac12 <1, portanto a série converge e podemos usar
S = sumn=1^infty a1,r^,n-1 = a11-r

Passo 4

Substituindo a1=tfrac12 e r=-tfrac12 na fórmula:
S = tfrac121 - l(-tfrac12r) = tfrac121 + tfrac12 = tfrac12tfrac32 = 13

Resposta

13

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