Calcule a soma da série S=sumn=1^infty 2^n-2(-3)^n-1

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
S=sumn=1^infty2^n-2(-3)^,n-1
Isso é uma série geométrica infinita. Vamos usar a forma padrão de uma série geométrica
sumn=1^infty a1,r^,n-1=a11-r,
válida quando |r|<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificar a1 e r. Note que
2^n-2(-3)^,n-1 =2^n-12,1(-3)^,n-1 =12l(2-3r)^n-1

Passo 3

Dessa forma vemos que
a1=12 e r=2-3=-23
Como l|-tfrac23r|=tfrac23<1, a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de série geométrica infinita, temos
S=a11-r =tfrac121-(-tfrac23) =tfrac121+tfrac23 =tfrac12tfrac53

Passo 5

Basta simplificar:
S=12cdot35=310

Resposta

310

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