Calcule a soma da série S=sumn=1^infty 2^n+4^n5^n+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = sumn=1^infty 2^n + 4^n5^n+1
Esse tipo de soma é combinação de séries geométricas, portanto usaremos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral separando o fator 5^n+1:
2^n + 4^n5^n+1 = 15,2^n + 4^n5^n = 15l[(tfrac25)^n + (tfrac45)^nr]
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S = 15sumn=1^inftyl[(tfrac25)^n + (tfrac45)^nr]

Passo 3

Lembrando que, para lvert rrvert<1, vale
sumn=1^inftyr^n=r1-r,
temos aqui r1=tfrac25 e r2=tfrac45, ambos com módulo menor que 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula a cada série:
sumn=1^inftyl(tfrac25r)^n =tfrac251-tfrac25 =tfrac25tfrac35 =23,
sumn=1^inftyl(tfrac45r)^n =tfrac451-tfrac45 =tfrac45tfrac15 =4

Passo 5

Substituindo esses valores em S:
S=15l(tfrac23+4r) =15l(tfrac23+tfrac123r) =15cdottfrac143 =1415

Resposta

1415

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