Calcule a soma da série S=sumn=1^infty 2^n+1-4^n8^n+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
S=sumn=1^infty2^n+1-4^n8^n+1
O conteúdo que vamos usar é a soma de séries geométricas e manipulação de potências de 2.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral
2^n+1-4^n8^n+1 =2^n+1-2^2n2^3n+3 =2^,n+1-3n-3-2^,2n-3n-3 =2^-2n-2-2^-n-3
Escrevendo em forma de frações,
2^-2n-2=12^2n+2=14^n+1, 2^-n-3=12^n+3
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S=sumn=1^inftyl(14^n+1-12^n+3r) =sumn=1^infty14^n+1 -sumn=1^infty12^n+3

Passo 3

Para a primeira soma note que é geométrica com primeiro termo a=14^2=116 e razão r=14. Portanto
sumn=1^infty14^n+1 =a1-r =tfrac1161-tfrac14 =tfrac116tfrac34 =112

Passo 4

Para a segunda soma temos primeiro termo a=12^4=116 e razão r=12. Então
sumn=1^infty12^n+3 =a1-r =tfrac1161-tfrac12 =tfrac116tfrac12 =18

Passo 5

Substituindo os resultados em S,
S=112-18 =224-324 =-124

Resposta

S=-124.

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