Calcule a soma da série S=sumn=0^infty 3^n+14^n+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S=sumn=0^infty3^n+14^n+1
O conteúdo aqui é série infinita do tipo geométrica, e a ideia é reconhecer a razão comum entre termos e usar a fórmula de soma de séries geométricas convergentes.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral, temos
3^n+14^n+1 =l(34r)^n+1
Isso mostra que cada termo é obtido multiplicando o anterior por
r=34
O primeiro termo (para n=0) é
a1=l(34r)^1=34

Passo 3

Como lvert rrvert=tfrac34<1, a série converge e sua soma é dada por
S=sumn=0^inftya1,r^,n =a11-r

Passo 4

Substituindo a1=tfrac34 e r=tfrac34, obtemos
S =tfrac341-tfrac34 =tfrac34tfrac14 =3

Resposta

S=3.

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