Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
integral0^+infty e^-s t t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral0^+infty e^-s,t,t^2,dt
ou seja, precisamos analisar o comportamento nos dois “pontos problemáticos”: tto0^+ e tto+infty. O parâmetro s é real, e vamos ver para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Comportamento em tto0^+:
Quando t é muito pequeno, e^-s,tapprox1. Logo,
e^-s,t,t^2sim t^2,
e sabemos que
integral0^varepsilon t^2,dt
é convergente (pois 2>-1). Portanto não há problema de divergência em 0.

Passo 3

Comportamento em tto+infty:
Para s>0, o fator e^-s,t decai exponencialmente e vence qualquer t^2. Formalmente, podemos usar comparação: para t grande existe constante C tal que
e^-s,t,t^2<= Ce^-s2t,
e integral^inftye^-s2t,dt converge. Logo, para s>0 a integral converge no infinito.
Se s<=0, então e^-s,t não decai (ou cresce), e o termo t^2 faz a integral divergir.

Passo 4

Conclusão sobre convergência:
  • Para s>0 a integral é convergente.
  • Para s<=0 a integral é divergente.

Passo 5

(Bônus) Valor da integral quando converge ( s>0):
integral0^+inftyt^2e^-s,t,dt =2s^3,
que pode ser obtido por integração por partes duas vezes ou reconhecendo a função Gama.

Resposta

A integral
integral0^+infty e^-s,t,t^2,dt
converge se, e somente se, s>0; diverge para s<=0.

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