Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
ou seja, precisamos analisar o comportamento nos dois “pontos problemáticos”:
e
. O parâmetro
é real, e vamos ver para quais valores de
a integral converge.
Passo 2
Comportamento em
:
Quando é muito pequeno,
. Logo,
Quando
e sabemos que
é convergente (pois
). Portanto não há problema de divergência em
.
Passo 3
Comportamento em
:
Para , o fator
decai exponencialmente e vence qualquer
. Formalmente, podemos usar comparação: para
grande existe constante
tal que
Para
e
converge. Logo, para
a integral converge no infinito.
Se , então
não decai (ou cresce), e o termo
faz a integral divergir.
Se
Passo 4
Conclusão sobre convergência:
- Para
a integral é convergente. - Para
a integral é divergente.
Passo 5
(Bônus) Valor da integral quando converge (
):
que pode ser obtido por integração por partes duas vezes ou reconhecendo a função Gama.
Resposta
A integral
converge se, e somente se,
; diverge para
.