Calcule a soma da série convergente:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+9 k+20}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2} + 9k + 20}.
Aqui o conteúdo principal é séries infinitas e o truque de telescoping via frações parciais.

Passo 2

Observe que o denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado:
k^{2} + 9k + 20 = (k + 4)(k + 5).

Passo 3

Vamos escrever
\frac{1}{(k+4)(k+5)} = \frac{A}{k+4} + \frac{B}{k+5}.
Multiplicando por (k+4)(k+5) obtemos
1 = A(k+5) + B(k+4).
Ao tomar k = -4 vem 1 = A\cdot1, logo A = 1.
Ao tomar k = -5 vem 1 = B\cdot(-1), logo B = -1.
Portanto
\frac{1}{(k+4)(k+5)} = \frac{1}{k+4} - \frac{1}{k+5}.

Passo 4

Substituindo na soma parcial até N:
\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^{2}+9k+20} = \sum_{k=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{k+4} - \frac{1}{k+5}\Bigr).
Essa soma telescopa:
\Bigl(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{6}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{7}\Bigr) +\cdots+ \Bigl(\tfrac{1}{N+4}-\tfrac{1}{N+5}\Bigr) = \frac{1}{5} - \frac{1}{N+5}.

Passo 5

Fazendo N \to \infty, o termo \tfrac{1}{N+5} tende a zero, então
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2} + 9k + 20} = \frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

Exercícios relacionados