Calcule a soma da série convergente \sum_{n=1}^{+\infty}\left(b_{n}-b_{n+2}\right), onde b_{n}=\frac{6 n}{2 n-1} para todo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\bigl(b_{n}-b_{n+2}\bigr),
onde b_{n}=\frac{6n}{2n-1}. O conteúdo aqui é séries telescópicas: vamos montar a soma parcial, ver os cancelamentos e passar ao limite.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N como
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}\bigl(b_{n}-b_{n+2}\bigr).

Passo 3

Expandindo os primeiros termos de S_{N} para notar o telescópio:
S_{N} = (b_{1}-b_{3}) + (b_{2}-b_{4}) + (b_{3}-b_{5}) + \cdots + (b_{N}-b_{N+2}).
Quase todos os b_{k} internos se cancelam, sobrando apenas:

Passo 4

S_{N} = b_{1} + b_{2} \;-\; b_{N+1} \;-\; b_{N+2}.
Como a série converge (é telescópica) e b_{n} tem limite finito, passamos ao limite N\to\infty.

Passo 5

Calculamos o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{6n}{2n-1} = \lim_{n\to\infty}\frac{6}{2-\tfrac1n} =3.
Também precisamos de b_{1} e b_{2}:
b_{1}=\frac{6\cdot1}{2\cdot1-1}=\frac{6}{1}=6, \quad b_{2}=\frac{6\cdot2}{4-1}=\frac{12}{3}=4.

Passo 6

Então, passando ao limite em S_{N}:
\sum_{n=1}^{\infty}(b_{n}-b_{n+2}) =\lim_{N\to\infty}S_{N} =\;b_{1}+b_{2}-\lim_{N\to\infty}b_{N+1}-\lim_{N\to\infty}b_{N+2} =6+4-3-3=4.

Resposta

A soma da série vale 4.

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