Calcule a soma da série convergente
, onde
para todo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série
onde
. O conteúdo aqui é séries telescópicas: vamos montar a soma parcial, ver os cancelamentos e passar ao limite.
Passo 2
Definimos a soma parcial até
como
Passo 3
Expandindo os primeiros termos de
para notar o telescópio:
Quase todos os
internos se cancelam, sobrando apenas:
Passo 4
Como a série converge (é telescópica) e
tem limite finito, passamos ao limite
.
Passo 5
Calculamos o limite de
:
Também precisamos de
e
:
Passo 6
Então, passando ao limite em
:
Resposta
A soma da série vale
.