\qquad 1. Calcule o limite da sequência a_{n}=\frac{n}{1+\sqrt{n}}-\frac{n}{3+\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n}=\frac{n}{1+\sqrt{n}}-\frac{n}{3+\sqrt{n}},
logo estamos no tópico de limites de sequências e vamos usar manipulação algébrica para colocar tudo numa única fração e, em seguida, dividir numerador e denominador pelo maior termo em n.

Passo 2

Vamos juntar as parcelas em uma só fração. Temos
a_{n} =\frac{n}{1+\sqrt{n}}-\frac{n}{3+\sqrt{n}} =\frac{n(3+\sqrt{n})-n(1+\sqrt{n})}{(1+\sqrt{n})(3+\sqrt{n})}.

Passo 3

Simplificando o numerador:
n(3+\sqrt{n})-n(1+\sqrt{n}) =3n+n\sqrt{n}-n-n\sqrt{n} =2n.
Portanto
a_{n}=\frac{2n}{(1+\sqrt{n})(3+\sqrt{n})}.

Passo 4

Expandindo o denominador para ver os termos em função de n:
(1+\sqrt{n})(3+\sqrt{n}) =3+4\sqrt{n}+n
e assim
a_{n}=\frac{2n}{n+4\sqrt{n}+3}.

Passo 5

Agora dividimos numerador e denominador por n, o termo de maior ordem, para ver o comportamento quando n\to\infty:
a_{n} =\frac{2n}{n+4\sqrt{n}+3} =\frac{2}{1+\tfrac{4}{\sqrt{n}}+\tfrac{3}{n}}.
Como \tfrac{4}{\sqrt{n}}\to0 e \tfrac{3}{n}\to0 quando n\to\infty, concluímos que o denominador tende a 1.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n}=2.

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