Verifique que a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{5^{n+2}}{6^{n-1}} é geométrica e convergente. Em seguida, calcule 0 primeiro termo, a razão e a soma dessa série.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n+2}}{6^{n-1}}
é geométrica e convergente, e em seguida determinar o primeiro termo, a razão e a soma dessa série. O conteúdo principal aqui é o de séries geométricas, cujo critério de convergência é \lvert r\rvert<1 e cuja soma é dada por
S=\frac{a_1}{1-r}.

Passo 2

Para identificar a_1 e r, reescrevemos o termo geral:
\frac{5^{n+2}}{6^{n-1}} =5^{n+2}\cdot6^{-(n-1)} =5^3\cdot5^{\,n-1}\cdot6^{-(n-1)} =125\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{n-1}.
Logo a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}125\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{n-1},
que é claramente uma série geométrica com
a_1=125 \quad\text{e}\quad r=\frac{5}{6}.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que elas convergem se e somente se \lvert r\rvert<1. Aqui
\Bigl\lvert\frac{5}{6}\Bigr\rvert=\frac{5}{6}<1,
portanto a série converge.

Passo 4

Como \lvert r\rvert<1, a soma é
S=\frac{a_1}{1-r} =\frac{125}{1-\frac{5}{6}} =\frac{125}{\frac{1}{6}} =750.

Resposta

O primeiro termo é 125, a razão é \tfrac{5}{6} e a soma da série é 750.

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