Verifique que a série \sum_{n=1}^{\alpha}(-1)^{n}\left(1-\frac{n}{n+1}\right) satisfaz as condições do critério de Leibniz

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\alpha}(-1)^{n}\Bigl(1-\frac{n}{n+1}\Bigr)
satisfaz as condições do critério de Leibniz, que são:
(i) termos de sinal alternante,
(ii) módulos dos termos formam sequência decrescente,
(iii) módulo do termo geral tende a zero.

Passo 2

Observamos que a série já está na forma \sum(-1)^n a_n, em que
a_n = 1 - \frac{n}{n+1}.
Portanto o fator (-1)^n garante a alternância de sinais.

Passo 3

Vamos simplificar a_n:
a_n = 1 - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)-n}{n+1} = \frac{1}{n+1}.
Como \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} para todo n\ge1, a sequência \bigl(a_n\bigr) é estritamente decrescente.

Passo 4

Calculamos o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0.

Resposta

A série satisfaz as três condições do critério de Leibniz (alternância de sinais, (a_n) decrescente e \lim a_n=0) e, portanto, converge pelo critério de Leibniz.

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