Estude a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{2 n^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \quad\text{com}\quad a_{n} = \frac{\sqrt{n+1}}{2\,n^{2}-1}.
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação com uma p-série, pois para grandes n espera-se que a_{n} se comporte como uma constante vezes n^{-3/2}.

Passo 2

Para identificar o decaimento de a_{n}, considere a p-série
b_{n} = \frac{1}{n^{3/2}},
que sabemos convergir já que o expoente 3/2>1. Vamos comparar a_{n} e b_{n} usando o teste de comparação de limites.

Passo 3

Calcule
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+1}}{2n^{2}-1}\,\bigl(n^{3/2}\bigr).
Reescrevendo o numerador:
\sqrt{n+1}\,n^{3/2} = n^{3/2}\,\sqrt{n}\,\sqrt{1+\tfrac1n} = n^{2}\,\sqrt{1+\tfrac1n}.
Logo,
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}\,\sqrt{1+\tfrac1n}}{2n^{2}-1} = \frac{1\cdot 1}{2} = \tfrac12,
um número finito e não nulo.

Passo 4

Como 0< L<\infty e \sum b_{n}=\sum 1/n^{3/2} converge, pelo teste de comparação de limites concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}}{2n^{2}-1} converge.

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