Calcule a soma da série dada:
sumk=0^+infty(13)^k

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumk=0^inftyl(tfrac13r)^k
Este é um caso clássico de série geométrica infinita. Para resolver, vamos usar o critério de convergência e a fórmula da soma de uma série geométrica com razão r tal que lvert rrvert<1.

Passo 2

Numa série geométrica da forma sumk=0^inftya,r^k, o primeiro termo é
a = r^0 = 1
e a razão é
r = tfrac13
Como lverttfrac13rvert<1, a série converge.

Passo 3

A fórmula para a soma de uma série geométrica convergente é
sumk=0^inftya,r^k = a1-r

Passo 4

Substituindo a=1 e r=tfrac13 na fórmula, obtemos
sumk=0^inftyl(tfrac13r)^k = 11-tfrac13 = 1tfrac23 = tfrac32

Resposta

tfrac32

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