Resolva as sequintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
Além disso, temos as condições iniciais:
Vamos precisar usar integração sucessiva para encontrar a função
. Basicamente, vamos integrar a equação diferencial três vezes e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a segunda derivada
. Lembre-se que a integral de
em relação a
é
:
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
da seguinte forma:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto,
Passo 3
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
na expressão de
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar a primeira derivada
:
Vamos integrar termo a termo:
-
(já vimos isso antes) -
-
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 5
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
:
Assim, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
para encontrar a função
:
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
:
Portanto, a solução geral para a função
é:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais, é: