Resolva as sequintes equações diferenciais.
y^prime prime prime=x e^x, y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de terceira ordem:
y''' = x e^x
Além disso, temos as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 0
Vamos precisar usar integração sucessiva para encontrar a função y(x) . Basicamente, vamos integrar a equação diferencial três vezes e usar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a segunda derivada y'' . Lembre-se que a integral de y''' em relação a x é y'' :
y'' = integral y''' , dx = integral x e^x , dx
Agora, precisamos resolver a integral integral x e^x , dx . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos u e dv da seguinte forma:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = u v - integral v , du :
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Portanto,
y'' = x e^x - e^x + C

Passo 3

Agora, usamos a condição inicial y''(0) = 0 para encontrar a constante C . Substituindo x = 0 na expressão de y'' :
0 = 0 cdot e^0 - e^0 + C Rightarrow 0 = 0 - 1 + C Rightarrow C = 1
Então, a expressão para y'' fica:
y'' = x e^x - e^x + 1

Passo 4

Agora, vamos integrar y'' para encontrar a primeira derivada y' :
y' = integral y'' , dx = integral (x e^x - e^x + 1) , dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral x e^x , dx = x e^x - e^x + C1 (já vimos isso antes)
  2. integral -e^x , dx = -e^x + C2
  3. integral 1 , dx = x + C3
Somando tudo:
y' = (x e^x - e^x) - e^x + x + C
Simplificando:
y' = x e^x - 2 e^x + x + C

Passo 5

Usamos a condição inicial y'(0) = 0 para encontrar a constante C . Substituindo x = 0 :
0 = 0 cdot e^0 - 2 e^0 + 0 + C Rightarrow 0 = 0 - 2 + C Rightarrow C = 2
Assim, a expressão para y' fica:
y' = x e^x - 2 e^x + x + 2

Passo 6

Agora, vamos integrar y' para encontrar a função y :
y = integral y' , dx = integral (x e^x - 2 e^x + x + 2) , dx
Integrando termo a termo:
  1. integral x e^x , dx = x e^x - e^x + C1
  2. integral -2 e^x , dx = -2 e^x + C2
  3. integral x , dx = 12 x^2 + C3
  4. integral 2 , dx = 2 x + C4
Somando tudo:
y = (x e^x - e^x) - 2 e^x + 12 x^2 + 2 x + C
Simplificando:
y = x e^x - 3 e^x + 12 x^2 + 2 x + C

Passo 7

Finalmente, usamos a condição inicial y(0) = 0 para encontrar a constante C . Substituindo x = 0 :
0 = 0 cdot e^0 - 3 e^0 + 12 (0)^2 + 2 cdot 0 + C Rightarrow 0 = 0 - 3 + 0 + 0 + C Rightarrow C = 3
Portanto, a solução geral para a função y(x) é:
y = x e^x - 3 e^x + 12 x^2 + 2 x + 3

Resposta

A solução da equação diferencial dada, satisfazendo as condições iniciais, é:
y(x) = x e^x - 3 e^x + 12 x^2 + 2 x + 3

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