Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
2 d yd t+t y=2, y(t)=e^-t^2 / 4 integral0^t e^s^2 / 4 d s+C e^-t^2 / 4, C constante;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y(t)=e^-t^2/4,integral0^te^s^2/4,ds ;+; C,e^-t^2/4
é solução da equação diferencial
2,dydt+t,y=2
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral se obtém pelo fator integrante.

Passo 2

Separemos y em duas parcelas:
y1(t)=e^-t^2/4,integral0^te^s^2/4,ds e y2(t)=C,e^-t^2/4
Vamos calcular 2,y1'(t)+t,y1(t). Pelo produto,
y1'(t) =l(e^-t^2/4r)'!!integral0^te^s^2/4ds ;+;e^-t^2/4,e^t^2/4
Como l(e^-t^2/4r)'=-tfract2,e^-t^2/4, segue
y1'(t) =-tfract2,e^-t^2/4!integral0^te^s^2/4ds ;+;1 =-tfract2,y1(t)+1
Multiplicando por 2 e somando t,y1:
2,y1'(t)+t,y1(t) =2l(-tfract2,y1+1r)+t,y1 =-t,y1+2+t,y1 =2

Passo 3

Agora y2(t)=C,e^-t^2/4. Tem-se
y2'(t) =Cl(e^-t^2/4r)' =-C,tfract2,e^-t^2/4 =-tfract2,y2(t)
Logo
2,y2'(t)+t,y2(t) =2l(-tfract2,y2r)+t,y2 =-t,y2+t,y2 =0

Passo 4

Somando os dois resultados:
2,y'(t)+t,y(t) =l[2,y1'+t,y1r]+l[2,y2'+t,y2r] =2+0 =2
Isso coincide exatamente com o lado direito da equação dada.

Resposta

A função
y(t)=e^-t^2/4integral0^te^s^2/4ds+C,e^-t^2/4
é de fato a solução geral da equação diferencial 2,y'+t,y=2.

Exercícios relacionados